วันเสาร์ที่ 5 พฤศจิกายน พ.ศ. 2554

การกำจัดคราบบนเสือผ้า

เสื้อผ้าสีขาวที่เริ่มจะกลายเป็นสีเหลือง
สามารถแก้ไขได้โดยใช้เปลือกไข่ป่นละเอียด ใส่ลงไปในอ่างแช่ผ้า ทิ้งไว้สักครู่ แล้วจึงซัก

เสื้อผ้าที่เลอะคราบครีม เนย น้ำมัน
ขจัดคราบโดยนำแป้งที่ใช้สำหรับทาตัวมาโรย ใช้กระดาษทิชชู หรือกระดาษบางอื่นๆ วางทับ นำเตารีดที่มีความร้อนพอสมควร ทับบนกระดาษ จนแป้งดูดคราบออกจนหมด แล้วจึงนำไปซัก

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบเลือด
ขจัดคราบโดยนำนมข้นทาทันที ทิ้งไว้สักครู่แล้วนำไปขยี้น้ำออก

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบเลือดจางๆ
ขจัดคราบโดยใช้เบคกิ้งโซดาผสมน้ำสักเล็กน้อย จนแป้งข้นๆ ถูเบาๆ เมื่อแห้งจึงปัดฝุ่นออก

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบเลือดฝังแน่น
ขจัดคราบโดยใช้ฟองน้ำจุ่มน้ำเย็น ที่ผสมเกลือจนชุ่ม ถูเบาๆ จนรอยค่อยๆ จางลง แล้วใช้น้ำเปล่าถูอีกครั้ง สุดท้ายใช้ทิชชูซับน้ำให้แห้ง

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบกาแฟ
ขจัดคราบโดยใช้แป้งข้าวเจ้าถู แล้วซักได้ตามปกติ

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบชอกโกแล็ต
ขจัดคราบโดยรีบนำไปแช่น้ำอุ่นทันทีที่เปื้อน อาจใช้น้ำยาขจัดคราบฝังแน่น ช่วยด้วย จากนั้นนำไปซักแห้ง

เสื้อผ้าที่เลอะคราบน้ำตาเทียน
ขจัดคราบโดยใช้ก้อนน้ำแข็งขูดเกล็ดเทียนออกให้มากที่สุด จากนั้นจึงใช้กระดาษประกบบริเวณที่เปื้อนทั้ง 2 ด้าน แล้วใช้เตารีดอุ่นๆ รีดทับจนน้ำตาเทียนซึมออกมาติดกับกระดาษ

เสื้อผ้าที่เลอะโคลน
ขจัดคราบโดยปล่อยให้โคลนแห้ง ใช้แปรงปัดออก ซักด้วยน้ำเย็นหลายๆ ครั้ง จนไม่มีน้ำโคลนออกมา จึงซักด้วยผงซักฟอก

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบน้ำชา
ขจัดคราบโดยรีบเทน้ำเดือดลงบนรอยเปื้อนบนผ้าที่ยังเป็นรอยใหม่อยู่จนสีจางลงแล้ว รีบนำไปซักทันที
ให้ซักในน้ำอุ่นกับสบู่ ถ้ายังไม่ออก ให้ใช้น้ำยาฟอกขาวเช็ด แล้วจึงซัก

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบน้ำผลไม้ น้ำมันพืช
ขจัดคราบโดยให้ขึงผ้าที่เปื้อนบนปากถัง เทน้ำเดือดลงตรงรอยเปื้อน แล้วจึงซัก

เสื้อผ้าที่เลอะน้ำมันขัดเงา
ขจัดคราบโดยใช้ฟองน้ำชุบทินเนอร์ทาบริเวณที่เปื้อนในขณะที่ยังเปียกอยู่ ใช้น้ำยาซักผ้า ขยี้ตรงรอยเปื้อนทันที นำมาแช่ในน้ำอุ่น แล้วรีบซักทันที

เสื้อผ้าที่เลอะคราบน้ำมันดิบ
ขจัดคราบโดยขูดน้ำมันดิบที่ติดอยู่ออกด้วยมีดที่ไม่คม แล้วถูด้วยน้ำมันสน หรือน้ำมันก๊าดหรือน้ำมันเบนซิน (ห้ามใช้น้ำเด็ดขาด)

เสื้อผ้าที่ขึ้นราเล็กน้อย
ขจัดคราบโดยรีบนำผ้าที่ขึ้นราใหม่ๆ ซักในน้ำสบู่ร้อนๆ ให้เร็วที่สุดเท่าที่จะทำได้ / ให้บีบมะนาวลงไป แล้วแช่ผ้าไว้ในผงซักฟอกสักครู่ จึงซักผ้าตามปกติ

เสื้อผ้าที่เปื้อนรอยสนิม
ขจัดคราบโดยนำผ้ามาชุบน้ำให้เปียกก่อน บีบน้ำมะนาวลงไปบนรอยเปื้อน ทิ้งไว้สักครู่ แล้วจึงนำไปซักตามปกติ

เสื้อผ้าที่เลอะคราบเบียร์
ขจัดคราบโดยซักในน้ำเย็นทันที หรือใช้แปรงจุ่มน้ำเย็น แปรงตรงรอยเปื้อนทันที

เสื้อที่เลอะคราบน้ำมันรถ (น้ำมันเครื่อง)
ขจัดคราบโดยใช้มะนาวถูบริเวณที่เปื้อน จนรอยเปื้อนจางลง
แล้วจึงนำไปซัก

เสื้อผ้าที่เปื้อนคราบน้ำส้มสายชู
ขจัดคราบโดยผสมแอมโมเนีย 1 ช้อนชา ในน้ำ 2 ถ้วย (ครึ่งลิตร) แล้วแช่ 2-3 นาที ล้างออกแล้วซักตามปกติ

เสื้อผ้าที่เลอะคราบน้ำหมาก น้ำหมึก
ขจัดคราบโดยก่อนซักให้นำเกลือป่นโรยตรงรอยเปื้อน แล้วบีบน้ำมะนาว ลงไปให้ชุ่ม ผึ่งแดดไว้ครึ่งวัน จึงค่อยนำไปซัก

เสื้อผ้าที่เลอะกาว
ขจัดคราบได้โดย ใช้น้ำส้มสายชูเช็ดที่รอยเปื้อน นำมาแช่ในน้ำเย็น แล้วซักตามปกติ

เสื้อผ้าที่เลอะขี้ผึ้ง

ขจัดคราบโดยการวางกระดาษซับบนรอยเปื้อนแล้วกดด้วยเตารีดที่ร้อน เปลี่ยนกระดาษจนกระทั่งไขทั้งหมดถูกดูดซับไปหมด ถ้าเป็นผ้าที่บาง หรือผ้าไหมให้ใช้กระดาษทิชชู และเตารีดที่เย็นกว่า

เสื้อผ้าที่เลอะไข่
ขจัดคราบได้โดยให้ผสมน้ำยาซักผ้ากับน้ำอุ่นซัก

เสื้อผ้าที่เลอะยางกล้วย
ขจัดคราบโดยใช้มะนาวที่ฝานเป็นชิ้นบางๆ ถูตรงรอยเปื้อน ที่เป็นคราบดำ แล้วรีบนำมาซักทันที

เสื้อผ้าที่เลอะยาทาเล็บ
ขจัดคราบโดยซับที่รอยเปื้อนด้วยน้ำยาล้างเล็บ และเช็ดด้วยผ้าที่สะอาด จนกระทั่งรอยเปื้อนจางลง (ควรลอง
หยดน้ำยาล้างเล็บลงผ้าก่อน)

เสื้อผ้าที่เลอะยาแดง
ขจัดคราบโดยเช็ดรอยเปื้อนด้วยแอมโมเนีย หรือซักด้วยน้ำส้มสายชูผสมน้ำ

เสื้อผ้าที่เลอะมัสตาร์ด
ขจัดคราบโดยใช้น้ำส้มสายชูถู แล้วรีบนำไปซัก

เสื้อผ้าที่เลอะคราบปัสสาวะ
ให้ซับที่รอยเปื้อน ด้วยแอมโมเนียเจือจาง หรือเบคกิ้งโซดา แล้วล้างออกด้วยน้ำอุ่น
แล้วซักได้ตามปกติ

เสื้อผ้าที่เลอะคราบเหงื่อ มี 3 วิธี
1.ขจัดได้โดยซักด้วยน้ำที่ผสมน้ำส้มสายชูเล็กน้อย หรือน้ำมะนาว
2.แช่ผ้าไว้ในน้ำยาซักผ้าที่ทำให้เจือจางในน้ำจากนั้นซักได้ตามปกติ
3.ละลายแอสไพริน 2 เม็ดลงในน้ำ แล้วแช่ผ้าไว้สักครู่ จึงซักตามปกติ

เสื้อผ้าที่เลอะหมึกแห้ง
ขจัดคราบได้โดย ใช้สเปรย์ฉีดผมฉีดตรงรอยนั้น ทิ้งไว้ให้แห้ง แล้วใช้น้ำส้มสายชูผสมน้ำอย่างละเท่ากัน
เช็ดให้แห้งแล้วนำไปซัก

เสื้อผ้าที่เลอะหมึกจีน
ขจัดคราบได้โดย ให้ฝนหัวผักกาดขาวห่อด้วยผ้ากอซ ถูจนรอยเปื้อนจาง แล้วซักตามปกติ

เสื้อผ้าที่เลอะสีน้ำมัน
ขจัดคราบโดยใช้น้ำมันเบนซินเช็ดรอยเปื้อนให้ชุ่ม แล้วใช้น้ำมันสนเช็ดอีกที จากนั้นซักตามปกติ

เสื้อผ้าที่เลอะสีเคลือบเงา
ขจัดคราบโดยซับที่รอยเปื้อนด้วยน้ำมันสน หรือผสมแอมโมเนีย กับน้ำมันสนในอัตราส่วนที่เท่ากัน แช่ผ้าไว้จนกระทั่งรอยเปื้อน ละลายออก จากนั้นซักในน้ำสบู่

เสื้อผ้าที่เลอะสีปากกาเมจิก
ให้ถูด้วยน้ำมันสน แล้วนำไปซัก

เสื้อผ้าที่เลอะคราบปากกาลูกลื่น
ขจัดคราบโดยใช้ฟองน้ำชุบแอลกอฮอล์เช็ดจนรอยเลอะจางลง แล้วจึงนำไปซัก

เสื้อผ้าที่เลอะคราบดินสอ
ใช้ยาสีฟันป้ายลงบนรอยดินสอแล้วขยี้

เสื้อผ้าที่เลอะลิปสติก
เอามันเปลวหมูทาตรงรอยเปื้อน หรือใช้น้ำมันหมูทา แล้วจึงซักในน้ำสบู่ร้อนๆ หรือใช้ผงซักฟอกขาว โรยตรงรอยเปื้อนแล้วขยี้ แล้วจึงซักตามปกติ / ใช้วาสลินถูตรงรอยเปื้อนแล้วนำมาซักตามปกติ / นำมาแช้ไว้ในน้ำผสมเกลือทิ้งไว้ 1 คืน จะทำให้รอยลิปสติกหาย

เสื้อผ้าที่เลอะยางหญ้า ยางดอกไม้
ขจัดคราบโดยนำมาซักในน้ำสบู่ที่ข้นและร้อน ถ้ายังไม่ออกให้ใช้สารฟอกขาวช่วย

วันอังคารที่ 29 มีนาคม พ.ศ. 2554

พาราโบลา

สมการกำลังสอง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

$ax^2 + bx + c = 0 \!$

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x², x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

ตัวอย่างกราฟของสมการกำลังสอง

สูตรกำลังสอง
สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

$x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}; \quad x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

ดิสคริมิแนนต์

ดิสคริมิแนนต์ในกรณีต่างๆ จุดที่ตัดแกน x คือรากของสมการในจำนวนจริง (ไม่เกี่ยวกับการหงายหรือคว่ำของกราฟ)

จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง

Δ

จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง
ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ

$x = -\frac{b}{2a} \!$

ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ

$x$

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i² = −1

การแยกตัวประกอบ
พจน์นี้

$x - r \!$

จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม

$ax^2 + bx + c \!$

ก็ต่อเมื่อ r เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

$ax^2 + bx + c = 0 \!$

ซึ่งจากสูตรกำลังสอง เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น

$ax^2 + bx + c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right)$

ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

$ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 \!$

การแยกตัวประกอบ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ การแยกตัวประกอบ (อังกฤษ: factorization) หมายถึงการแบ่งย่อยวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น จำนวน พหุนาม หรือเมทริกซ์) ให้อยู่ในรูปผลคูณของวัตถุอื่น ซึ่งเมื่อคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 3 × 5 และพหุนาม

x 2 - 4

สามารถแยกได้เป็น

(x - 2)(x + 2)

เป็นต้น

จุดมุ่งหมายของการแยกตัวประกอบคือการลดทอนวัตถุให้เล็กลง อาทิ จากจำนวนไปเป็นจำนวนเฉพาะ จากพหุนามไปเป็นพหุนามลดทอนไม่ได้ (irreducible polynomial) การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ส่วนการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต สำหรับพหุนาม สิ่งที่ตรงข้ามกับการแยกตัวประกอบคือการกระจายพหุนาม (polynomial expansion) ซึ่งเป็นการคูณตัวประกอบทุกตัวเข้าด้วยกันเป็นพหุนามใหม่

การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มสำหรับจำนวนขนาดใหญ่อาจกลายเป็นข้อปัญหาที่ยุ่งยาก ซึ่งไม่มีวิธีใดที่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนขนาดใหญ่ได้อย่างรวดเร็ว แต่ความยุ่งยากนี้เป็นประโยชน์ต่อการรักษาความปลอดภัยในขั้นตอนวิธีของการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร อย่างเช่น RSA

สำหรับการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์เรียกว่า การแยกเมทริกซ์ (matrix decomposition) ซึ่งมีวิธีการที่เหมาะสมแตกต่างกันไปสำหรับเมทริกซ์นั้นๆ เช่น การแยกแบบคิวอาร์ (QR decomposition) เป็นต้น วิธีหลักอย่างหนึ่งที่นิยมคือการทำให้เป็นผลคูณของ เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix) หรือเมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix) กับเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยม (triangular matrix)

อีกตัวอย่างหนึ่งของการแยกตัวประกอบคือการแยกฟังก์ชันให้กลายเป็นการประกอบฟังก์ชัน (function composition) กับฟังก์ชันอื่นโดยมีเงื่อนไขที่เจาะจง ตัวอย่างเงื่อนไขเช่น ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการประกอบของฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function) กับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) เป็นต้น

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะและได้ผลลัพธ์เพียงแบบเดียวตามทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต เราสามารถแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มโดยการหารจำนวนนั้นด้วยจำนวนเฉพาะซ้ำๆ จนกว่าจะไม่มีจำนวนเฉพาะอื่นใดหารได้ จะได้ว่าจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหารทั้งหมดคือตัวประกอบของจำนวนนั้น ซึ่งวิธีการนี้เป็นขั้นตอนวิธีหลักของการแยกตัวประกอบจากจำนวนเต็มซึ่งใช้ได้ผลกับจำนวนน้อยๆ สำหรับจำนวนเต็มขนาดใหญ่ยังไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่มีประสิทธิภาพที่สุด อย่างไรก็ตามยังมีวิธีการที่หลากหลายแตกต่างกันออกไปเพื่อแยกตัวประกอบจำนวนขนาดเล็ก ไปเลย

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

พหุนามกำลังสองใดๆ บนจำนวนเชิงซ้อน (คือพหุนามที่อยู่ในรูป

a x 2 + b x + c

เมื่อ $a,b,c \in \mathbb{C}$ ) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูป $a (x - \alpha) (x - \beta) \!$ เมื่อ

α

และ

β

คือรากของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จากสูตรกำลังสองดังนี้

$ax^2 + bx + c = a (x - \alpha) (x - \beta) = a\left (x - \left (\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right) \left (x - \left (\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \right)$

พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม

บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของสมการกำลังสอง โดยที่พหุนาม

$ax^2+bx+c\!$

สามารถแยกได้เป็น

$(mx+p) (nx+q) \!$

เมื่อ

$mn = a\!$

$pq = c\!$

$pn + mq = b\!$

จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ x เพื่อหารากของสมการกำลั

สอง

ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์

แผนภาพที่พิสูจน์ว่า
(a+b) ² = a²+2ab+b²

พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ หรือเพียงแค่ กำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b) (a + b) = (a + b) ^2\!$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b) (a - b) = (a - b) ^2\!$

ผลบวกและผลต่างกำลังสอง

ดูบทความหลักที่ ผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตรดังนี้

$a^2 - b^2 = (a-b) (a+b) \!$

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินตภาพเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้

$a^2 + b^2 = (a+bi) (a-bi) \!$

ตัวอย่างเช่น

4 x 2 + 49

สามารถแยกได้เป็น

(2 x + 7 i)(2 x - 7 i)

เป็นต้น

การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ

ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้ ผลบวกสามารถแยกตัวประกอบเป็น

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\!$

และผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\!$

เช่น x³ − 10³ (or x³ − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x − 10)(x² + 10x + 100)

กรณฑ์

กรณฑ์และกรณฑ์ที่สองของสอง

ที่มาhttp://www.mathkc3.ob.tc/

วันพฤหัสบดีที่ 24 มีนาคม พ.ศ. 2554

กราฟ

บทความนี้เกี่ยวกับนิยามทั่วไปของกราฟ สำหรับรายละเอียดอื่น ๆ ดูที่ ทฤษฎีกราฟ

สำหรับความหมายอื่นในทางคณิตศาสตร์ ดูที่ กราฟของฟังก์ชัน และกราฟของความสัมพันธ์

กราฟที่มีจุดยอด 6 จุด และเส้นเชื่อม 7 เส้น

ในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ กราฟ คือ วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในทฤษฎีกราฟ กล่าวอย่างไม่เป็นทางการได้ว่า กราฟ คือ เซตของวัตถุที่เรียกว่า จุดยอด (vertex) ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วย เส้นเชื่อม (edge) โดยทั่วไปแล้วเรามักวาดรูปแสดงกราฟโดยใช้เซตของจุด (แทนจุดยอด) เชื่อมกันด้วยเส้น (แทนเส้นเชื่อม) ในบางการประยุกต์ใช้งาน เส้นเชื่อมอาจแสดงอย่างมีทิศทางได้

นิยาม
การให้นิยามในทฤษฎีกราฟมีความแตกต่างกันบ้าง ด้านล่างนี้คือมาตรฐานที่ใช้ในสารานุกรมนี้

กราฟไม่ระบุทิศทาง หรือ กราฟ G คือคู่อันดับ G:=(V, E) ที่

V คือ เซต ของ จุดยอด (vertices) หรือ จุด (nodes)
E คือ เซตของคู่ของจุดยอดที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละอันเรียกว่า เส้นเชื่อม (edges) หรือ เส้น (lines)
จุดยอดที่ติดกับเส้นเชื่อมเรียกว่า จุดยอดปลาย (end vertices) ของเส้นเชื่อม

กราฟระบุทิศทาง

กราฟระบุทิศทาง (directed graph) หรือ ไดกราฟ G คือคู่อันดับ G:=(V, A) ที่

V คือ เซต ของ จุดยอด (vertices) หรือ จุด (nodes)
A คือ เซตของคู่ลำดับของจุดยอด ซึ่งแต่ละอันเรียกว่า เส้นเชื่อมระบุทิศทาง (directed edges), เส้นเชื่อม (arcs) หรือ ลูกศร (arrows). เส้นเชื่อม e = (x, y) จะถูกพิจารณาว่าเป็นเส้นเชื่อม จาก x ไป y โดยที่ y จะถูกเรียกว่า หัว (head) และ x จะถูกเรียกว่า หาง (tail) ของเส้นเชื่อม

กราฟอวัฏจักรระบุทิศทาง (directed acyclic graph) หรือเรียกอีกอย่างว่า DAG คือ กราฟระบุทิศทาง ที่ไม่มีวัฏจักรระบุทิศทาง ห่วง (loop) เกิดจากอาร์กที่มีจุดเริ่มต้นเป็นจุดเดียวกับจุดปลาย ขนานกัน (parallel) เกิดจากอาร์กที่มีจุดเริ่มต้นเหมือนกัน และจุดปลายเหมือนกัน

กราฟผสม
กราฟผสม G คือ สามสิ่งอันดับ (3-tuple) G:=(V,E,A) ที่ V, E และ A เหมือนดังนิยามด้านบน

การนิยามที่แตกต่างไป

จากนิยามข้างต้น เส้นเชื่อมในกราฟไม่มีทิศทางจะต้องมีจุดปลายที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ E และ A ยังเป็นเซต (ที่มีสมาชิกแตกต่างกัน) อย่างไรก็ตามในหลายๆ การประยุกต์ใช้ เราจะใช้นิยามที่กว้างกว่านี้
เราสามารถมี วงวน (loop) ที่หมายถึงเส้นเชื่อมที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน ซึ่งการอนุญาตให้มีวงวนหรือไม่ขึ้นกับแต่ละการประยุกต์ใช้งาน
บางครั้ง E หรือ A สามารถเป็นมัลติเซต ซึ่งทำให้มีเส้นเชื่อมจุดปลายคู่ใด ๆ มากกว่าหนึ่งเส้นได้ เมื่อกล่าวถึง "กราฟ" ผู้เขียนอาจหมายถึงกราฟที่อนุญาตให้มีเส้นเชื่อมซ้ำกันหรือไม่ก็ได้ อย่างไรก็ตาม ถ้าต้องการระบุให้ชัดเจนว่ากราฟนั้นไม่มีเส้นเชื่อมซ้ำกัน จะเรียกกราฟนั้นว่ากราฟ กราฟเชิงเดียว (simple graph) ในทางกลับกันสำหรับกราฟที่อนุญาตให้มีเส้นเชื่อมซ้ำกันได้จะเรียกกราฟนั้นว่า มัลติกราฟ (multigraph) บางครั้งก็มีการใช้คำว่า กราฟจำลอง เพื่อระบุว่ากราฟสามารถมีได้ทั้งเส้นเชื่อมซ้ำและวงวน

คุณลักษณะของกราฟ
เราจะกล่าวว่า

เส้นเชื่อมสองเส้น ประชิด (adjacent) กัน ถ้าเส้นเชื่อมทั้งสองมีจุดปลายร่วมกัน
จุดยอดสองจุด ประชิด กัน ถ้าจุดยอดทั้งสองเป็นจุดปลายของเส้นเชื่อมเดียวกัน
เส้นเชื่อม ต่อ (incident) กับจุดปลายของเส้นเชื่อมเสมอ

กราฟที่มีจุดยอดเพียงจุดเดียวและไม่มีเส้นเชื่อมใดๆ เรียกว่า กราฟชัด (trivial graph) กราฟที่มีแต่จุดยอดแต่ไม่มีเส้นเชื่อมใดๆ เรียกว่า กราฟว่าง (empty graph) ส่วนกราฟที่ไม่มีทั้งจุดยอดและเส้นเชื่อม เรียกว่า กราฟสูญ (null graph) แต่นิยามนี้ไม่เป็นที่นิยมนัก
กราฟถ่วงน้ำหนัก (weighted graph) คือ กราฟที่มีการกำหนดค่าให้กับเส้นเชื่อมแต่ละเส้น ซึ่งอาจเป็น ค่าใช้จ่าย, น้ำหนัก, ความยาว หรืออื่นๆขึ้นกับการใช้งาน กราฟถ่วงน้ำหนักนำไปใช้ในการแก้ปัญหาหลายๆอย่าง เช่น ปัญหาเส้นทางที่ดีที่สุด เป็นต้น
โดยทั่วไปแล้วจุดยอดของกราฟนั้นจะไม่สามารถถูกแยกแยะ หรือพิจารณาว่าแตกต่างกันได้ (ยกเว้นในบางกรณีเช่นมีจำนวนเส้นเชื่อมที่แตกต่างกันเป็นต้น) อย่างไรก็ตาม บางสาขาของทฤษฎีกราฟต้องการให้ระบุจุดยอดที่ชัดเจนได้ ถ้าแต่ละจุดยอดมีการระบุชื่อที่ชัดเจน (มี label) กำกับ เราจะเรียกกราฟเหล่านั้นนั้นว่า กราฟระบุชื่อ (labeled graph) ในกรณีที่ไม่มีการระบุชื่อจะเรียกกราฟว่า กราฟไม่ระบุชื่อ

ที่ทา wikipedia

วันพุธที่ 23 มีนาคม พ.ศ. 2554

สูตรพื้นที่และปริมาตร

รวมสูตรพื้นที่ผิวและปริมาตร

http://sn-itclub.com/m3math.do

วันอังคารที่ 22 มีนาคม พ.ศ. 2554

ปริมาตร

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ถ้วยตวงสามารถใช้วัดปริมาตรของของเหลวได้ ถ้วยตวงถ้วยนี้มีหน่วยกำกับเป็นถ้วย ออนซ์ และมิลลิลิตร

ปริมาตร หมายถึงความมากน้อยในปริภูมิ สามมิติซึ่งวัสดุชนิดหนึ่งในสถานะใด ๆ (ของแข็ง ของเหลว แก๊ส หรือพลาสมา) หรือรูปทรงชนิดหนึ่งยึดถืออยู่หรือบรรจุอยู่ บ่อยครั้งที่ปริมาตรระบุปริมาณเป็นตัวเลขโดยใช้หน่วยกำกับ เช่นลูกบาศก์เมตรซึ่งเป็นหน่วยอนุพันธ์เอสไอ นอกจากนี้ยังเป็นที่เข้าใจกันโดยทั่วไปว่า ปริมาตรของภาชนะคือ ความจุ ของภาชนะ เช่นปริมาณของของไหล (ของเหลวหรือแก๊ส) ที่ภาชนะนั้นสามารถบรรจุได้ มากกว่าจะหมายถึงปริมาณเนื้อวัสดุของภาชนะ

รูปทรงสามมิติทางคณิตศาสตร์มักถูกกำหนดปริมาตรขึ้นด้วยพร้อมกัน ปริมาตรของรูปทรงอย่างง่ายบางชนิด เช่นมีด้านยาวเท่ากัน สันขอบตรง และรูปร่างกลมเป็นต้น สามารถคำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรต่าง ๆ ทางเรขาคณิต ส่วนปริมาตรของรูปทรงที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นสามารถคำนวณได้ด้วยแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ถ้าทราบสูตรสำหรับขอบเขตของรูปทรงนั้น รูปร่างหนึ่งมิติ (เช่นเส้นตรง) และรูปร่างสองมิติ (เช่นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ถูกกำหนดให้มีปริมาตรเป็นศูนย์ในปริภูมิสามมิติ

ปริมาตรของของแข็ง (ไม่ว่าจะมีรูปทรงปกติหรือไม่ปกติ) สามารถตรวจวัดได้ด้วยการแทนที่ของไหล และการแทนที่ของเหลวสามารถใช้ตรวจวัดปริมาตรของแก๊สได้อีกด้วย ปริมาตรรวมของวัสดุสองชนิดโดยปกติจะมากกว่าปริมาตรของวัสดุอย่างใดอย่างหนึ่ง เว้นแต่เมื่อวัสดุหนึ่งละลายในอีกวัสดุหนึ่งแล้ว ปริมาตรรวมจะไม่เป็นไปตามหลักการบวก ^[2]

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ปริมาตรถูกอธิบายด้วยความหมายของรูปแบบปริมาตร (volume form) และเป็นตัวยืนยง แบบไรมันน์ (Riemann invariant) ที่สำคัญโดยรวม ในอุณหพลศาสตร์ ปริมาตรคือตัวแปรเสริม (parameter) ชนิดพื้นฐาน และเป็นตัวแปรควบคู่ (conjugate variable) กับความดัน

วันจันทร์ที่ 21 มีนาคม พ.ศ. 2554

รูปทรงเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิต

รูปภาพที่เราเห็นทุกวันนี้ จะสังเกตได้ว่ามีการใช้รูปทรงเรขาคณิตมาใช้ในการเขียนแบบทั้งนั้น เช่น วงกลม วงรี ส่วนโค้ง หรือรูปเหลี่ยม ดังนั้นในการออกแบบจำเป็นที่ผู้เขียนจะต้องมีความรู้ในการสร้างรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งการสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ถูกต้องนั้นจะต้องใช้เครื่องมือช่วยในการเขียนแบบเพื่อความสะดวกและรวดเร็ว

ในงานเขียนแบบทั่วไปช่างเขียนแบบจะต้องมีความรู้ในเรื่องเรขาคณิตพื้นฐาน และสามารถดัดแปลง เพื่อนำไปประกอบในการเขียนรูปทรงต่างๆ ของชิ้นงานที่พบในงานเขียนแบบ การสร้างรูปในวิชาเรขาคณิต เราใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัดเท่านั้น แต่เมื่อนำมาใช้ในงานเขียนแบบแล้ว ช่างเขียนแบบจะต้องมี ไม้ที, ไม้ฉาก, วงเวียน, และเครื่องมือประกอบอื่นๆ ประกอบอีกด้วย เครื่องมือเหล่านี้จะช่วยให้งานเขียนแบบที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตสร้างได้ง่ายและรวดเร็วยิ่งขึ้น
การเขียนแบบด้วยวิธีการเรขาคณิตนี้ ต้องฝึกการใช้เครื่องมือต่างๆ ให้ชำนาญ เช่น การเขียนส่วนโค้งโดยใช้บรรทัดเขียนโค้ง (Curve) ต้องมีความละเอียดในการวัด จะทำให้แบบต่างๆ ที่เขียนถูกต้องและเรียบร้อย ซึ่งเราจะต้องรู้จักเทคนิคในการใช้เครื่องมือต่างๆ เหล่านี้เป็นอย่างดี

การสร้างรูปทรงเรขาคณิต
การเขียนแบบด้วยวิธีทางเรขาคณิตนี้ ต้องฝึกการใช้เครื่องมือต่างๆ ให้ชำนาญ เช่น การเขียนส่วนโค้ง ต้องมีความละเอียดในการวัด จะทำให้แบบต่างๆที่เขียนเป็นไปอย่างถูกต้องและเรียบร้อย ซึ่งเราต้องรู้จักเทคนิคในการใช้เครื่องมือต่างๆ เหล่านี้เป็นอย่างดี ซึ่งมีการสร้างหลายวิธี เช่น

การแบ่งเส้นตรง

วิธีสร้าง
1. กำหนดสร้างเส้นตรง AB ใช้จุด A และจุด B เป็นจุดศูนย์กลางรัศมีเกิน
2. ลากเส้นตรง CD ตัดเส้นตรง AB ที่จุด O และเส้นตรง CD จะแบ่งครึ่งเส้นตรง
3. เส้นตรง AO จะเท่ากับ OB

การแบ่งเส้นตรง

วิธีสร้าง
1. กำหนดมุม BAC ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง (รัศมีพอสมควร) เขียนส่วนโค้ง
2. ใช้จุด E และ F เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนเส้นโค้งตัดกันที่จุด D
3. ลากเส้นตรง AD จะแบ่งครึ่งมุม BAC ออกเป็น 2 มุม เท่าๆ กัน

การแบ่งเส้นตรงแบบขนาน

วิธีสร้าง
1. กำหนดเส้นตรง AB ต้องการแบ่งเส้นตรง AB เออกเป็น 5 ส่วน เท่าๆ กัน เป็นจุด
2. ที่จุด A ลากเส้นตรงทำมุมกับจุด A (มุมเท่าไรก็ได้)
3. ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีพอสมควรตัดเส้นตรง AC 5 ส่วน
4. ลากเส้นตรงผ่านจุดตัดให้ขนานกันทุกเส้น จะได้ส่วนแบ่งบนเส้นตรง AB เท่าๆ กัน

การสร้างรูป 3 เหลี่ยมด้านเท่า

วิธีสร้าง1. กำหนดวงกลมมี ABCD เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางและ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม
2. ใช้ A เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง รัศมี AO เขียนเส้นโค้งตัดเส้นรอบวงที่จุด X, Y, และ Z
3. ลากเส้นตรง XY, YZ และ ZX จะได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า XYZ

การสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า

วิธีสร้าง
1. กำหนดวงกลมมี ABCD เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง ตัดกันที่จุด O
2. ใช้ A, B, C และ D เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี AO เขียนส่วนโค้งตัดกันที่จุด M, N, O, P
3. ลากเส้นตรง AD จะแบ่งครึ่งมุม BAC ออกเป็น 2 มุม เท่าๆ กัน
4. ลากเส้นต่อจุดตัดที่เส้นรอบวง จะได้สี่เหลี่ยมด้านเท่า

การสร้างรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีสร้าง
1. กำหนดวงกลมมีเส้นผ่าศูนย์กลาง ABCD ตัดกันที่จุด O
2. แบ่งเส้นตรง OB ที่จุด X
3. ใช้จุด X เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี XC เขียนส่วนโค้งตัด AO ที่จุด Y
4. ใช้ C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี CY เขียนส่วนโค้งตัดเส้นรอบวงที่จุด M, N, O, P ตามลำดับ
5. ลากเส้นตรงต่อจุดตัด M, N, O, P จะได้รูปห้าเหลี่ยมตามลำดับ

การสร้างรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีสร้าง
1. กำหนดวงกลมมี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม
2. ใช้ A, B เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี AO เขียนส่วนโค้งตัดเส้นรอบวงที่จุด C, D, E และ F ตามลำดับ
3. ลากเส้นตรง AC, CE, EB, BF, FD และ DA
4. จะได้รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า

การสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีสร้าง
1. กำหนดความยาวด้าน AB ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AB เขียนส่วนโค้งครึ่งวงกลมตัดที่จุด C
2. แบ่งวงกลมออกเป็น 7 ส่วน เท่าๆ กัน โดยใช้ไม้โปรแทคเตอร์แบ่งมุม ลากเส้นตรง A1, A2, A3, A4, A5 และ A6 ให้ออกไปนอกครึ่งวงกลม (ดังรูป)
3. ใช้จุด B และ 2 เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AB เขียนส่วนโค้งตัดกันที่ A3, A6, ที่จุด MP
4. ใช้จุด MP เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AB เขียนเส้นโค้งตัดเส้น A4, A5 ที่จุด NO
5. ลากเส้นตรง A2, 2M, MN, NO, OP และ PB ตามลำดับ ก็จะได้รูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าตามต้องการ

การเขียนส่วนโค้งสัมผัสเส้นตรงที่ตั้งฉาก

วิธีสร้าง
1. กำหนดเส้นตรง 2 เส้นตั้งฉากกันที่จุด A ให้รัศมีเขียนส่วนโค้ง r เท่ากับ 15 มม.
2. ใช้จุด A เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี r เขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรงที่จุด E และ F
3. ใช้จุด E และ F เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี r เขียนส่วนโค้งตัดกันที่จุด O
4. จุด O จะเป็นจุดศูนย์กลางเขียนส่วนโค้ง r สัมผัสเส้นตรง

การเขียนส่วนโค้งสัมผัสมุมแหลมและมุมป้าน

วิธีสร้าง1. กำหนดมุมแหลมและมุมป้าน มีจุด A เป็นปลายแหลมของมุม
2. ให้รัศมีส่วนโค้งของมุม r เท่ากับ 10 มม.
3. ลากเส้นขนาดเท่ากับ r เท่ากับเส้นมุมแหลมและมุมป้าน
4. เส้นขนานตัดกันที่จุด O
5. ใช้จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี r เขียนส่วนโค้งสัมผัสมุมแหลมและมุมป้าน

การเขียนวงรีด้วยวงเวียน

1. กำหนดสร้าง AB ยาวเท่ากับ 100 มม. CD ยาวเท่ากับ 60 มม.
2. ลากเส้นตรง AC ใช้จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AO เขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรง OC ที่จุด X
3. ใช้จุด C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี CX เขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรง AC ที่จุด Y
4. แบ่งครึ่ง AY ลากเส้นแบ่งครึ่ง AY ตัดเส้นตรง AO ที่จุด M ตัดเส้น OD ที่จุด P
5. ใช้จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี OM ตัดเส้นตรง OB ที่จุด N
6. ใช้จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี OP ตัดเส้นตรง OP ที่จุด Q
7. ลากเส้นสัมผัสส่วนโค้ง PN, QN
8. ใช้จุด M, N เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้ง r
9. ใช้จุด P, Q เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้ง R สัมผัสส่วนโค้ง R จะได้รูปวงรี

การสร้างวงรีด้วยวงกลมสองวง

วิธีสร้าง
1. กำหนดวงกลมสองวง เส้นผ่าศูนย์กลาง AB เท่ากับ 100 มม. เส้นผ่าศูนย์กลาง CD เท่ากับ 60 มม.
2. แบ่งวงกลมออกเป็น 12 ส่วน โดยใช้บรรทัดสามเหลี่ยมทำมุม 30 และ 60 องศา ลากผ่านจุดศูนย์กลาง O
3. จุดตัดที่เส้นรอบวงใหญ่ ลากเส้นตั้งฉาก และจุดตัดที่เส้นรอบวงเล็ก ลากเส้นขนานไปตัดกัน (ดังรูป)
4. ที่จุดตัด ใช้ Curve เขียนส่วนโค้งวงรี โดยใช้การต่อส่วนโค้ง อย่างน้อย 3 จุด จะได้วงรี

ที่มาhttp://www.bspwit.ac.th/LINK%20PAGE/Art%20Group/Drawing%20Tech/D-TECH%20UNIT-04.php