การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

 

ในทางคณิตศาสตร์ การแยกตัวประกอบ (อังกฤษ: factorization) หมายถึงการแบ่งย่อยวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น จำนวน พหุนาม หรือเมทริกซ์) ให้อยู่ในรูปผลคูณของวัตถุอื่น ซึ่งเมื่อคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 3 × 5 และพหุนาม x² − 4 สามารถแยกได้เป็น (x − 2)(x + 2) เป็นต้น

จุดมุ่งหมายของการแยกตัวประกอบคือการลดทอนวัตถุให้เล็กลง อาทิ จากจำนวนไปเป็นจำนวนเฉพาะ จากพหุนามไปเป็นพหุนามลดทอนไม่ได้ (irreducible polynomial) การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ส่วนการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต สำหรับพหุนาม สิ่งที่ตรงข้ามกับการแยกตัวประกอบคือการกระจายพหุนาม (polynomial expansion) ซึ่งเป็นการคูณตัวประกอบทุกตัวเข้าด้วยกันเป็นพหุนามใหม่

การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มสำหรับจำนวนขนาดใหญ่อาจกลายเป็นข้อปัญหาที่ยุ่งยาก ซึ่งไม่มีวิธีใดที่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนขนาดใหญ่ได้อย่างรวดเร็ว แต่ความยุ่งยากนี้เป็นประโยชน์ต่อการรักษาความปลอดภัยในขั้นตอนวิธีของการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร อย่างเช่น RSA

สำหรับการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์เรียกว่า การแยกเมทริกซ์ (matrix decomposition) ซึ่งมีวิธีการที่เหมาะสมแตกต่างกันไปสำหรับเมทริกซ์นั้นๆ เช่น การแยกแบบคิวอาร์ (QR decomposition) เป็นต้น วิธีหลักอย่างหนึ่งที่นิยมคือการทำให้เป็นผลคูณของ เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix) หรือเมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix) กับเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยม (triangular matrix)

อีกตัวอย่างหนึ่งของการแยกตัวประกอบคือการแยกฟังก์ชันให้กลายเป็นการประกอบฟังก์ชัน (function composition) กับฟังก์ชันอื่นโดยมีเงื่อนไขที่เจาะจง ตัวอย่างเงื่อนไขเช่น ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการประกอบของฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function) กับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) เป็นต้น

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบเฉพาะและได้ผลลัพธ์เพียงแบบเดียวตามทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต เราสามารถแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มโดยการหารจำนวนนั้นด้วยจำนวนเฉพาะซ้ำๆ จนกว่าจะไม่มีจำนวนเฉพาะอื่นใดหารได้ จะได้ว่าจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหารทั้งหมดคือตัวประกอบของจำนวนนั้น ซึ่งวิธีการนี้เป็นขั้นตอนวิธีหลักของการแยกตัวประกอบจากจำนวนเต็มซึ่งใช้ได้ผลกับจำนวนน้อยๆ สำหรับจำนวนเต็มขนาดใหญ่ยังไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่มีประสิทธิภาพที่สุด อย่างไรก็ตามยังมีวิธีการที่หลากหลายแตกต่างกันออกไปเพื่อแยกตัวประกอบจำนวนขนาดเล็ก ไปเลย

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

พหุนามกำลังสองใดๆ บนจำนวนเชิงซ้อน (คือพหุนามที่อยู่ในรูป ax² + bx + c เมื่อ ) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูป เมื่อ α และ β คือรากของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จากสูตรกำลังสองดังนี้

พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม

บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของสมการกำลังสอง โดยที่พหุนาม

สามารถแยกได้เป็น

เมื่อ

จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ x เพื่อหารากของสมการกำลั

สอง

ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์

แผนภาพที่พิสูจน์ว่า
(a+b) ² = a²+2ab+b²

พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ หรือเพียงแค่ กำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้

ผลบวกและผลต่างกำลังสอง

ดูบทความหลักที่ ผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตรดังนี้

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินตภาพเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้

ตัวอย่างเช่น 4x² + 49 สามารถแยกได้เป็น (2x + 7i)(2x − 7i) เป็นต้น

การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ

ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้ ผลบวกสามารถแยกตัวประกอบเป็น

และผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น

เช่น x³ − 10³ (or x³ − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x − 10)(x² + 10x + 100)